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Chapter 3 | Arithmetic for Computer

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3.1 Introduction - 数值表达 -

3.2 Signed and Unsigned Numbers - Possible Representations

  • 溢出

3.3 Arithmetic--Addition & Subtraction and ALU

  • CLA
  • 行波

3.4 Multiplication

3.5 Division

3.6 Floating point numbers

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Introduction

  • 一个数字只是一个数字，未指明含义它并不表征任何意义

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Arithmetic

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overflow

$OverFlow = C_{n} \oplus C_{n-1}$

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Delay的计算

这里跟数字逻辑的基本相同

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CLA

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Multiplication

Multiplicand=被乘数

Multiplier=乘数

  • 乘法不能用补码操作

V1

  • 不断移动位置（左移动），做加法
  • 移动被乘数
  • 对乘数的最后一位判断，是1，结果加上当前的被乘数

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V2

  • 不移动被乘数，而是移动乘积product
  • 对于128bits的product，高64bits进行算术运算，然后不断右移

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example

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V3

  • 之前V2里面的Product低64bits没有任何用处，这里用来装乘数，使之右移移除的bit进行判断

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  • 129bits是为了保存进位（个人感觉用不到啊

有符号乘法

  • 记录符号，转为绝对值相乘

Booth Algorithm

适用于式子中1比较多的情况，将多的加法转换为shift（左到右的序列）

根据相邻的两个bits判断对这一位要做什么操作，±被乘数

  • 与上面的思想类似，在一个寄存器左半部分，右半部分 分别 放置 Result，乘数；每次根据乘数最低位的序列对Result部分进行操作，比如 add 被乘数；
  • 需要注意的是，计算这个序列是从 -1 位（默认为0）开始的
  • shift操作每次都要进行 11、00 的情况相当于operation环节是空的

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Example

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Division

Dividend=被除数，

Divisor=除数

Quotient 商

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V1

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  • 除数最开始在Divisor左64bits，被除数在Remainder右64bits，

Note

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V2

改进

  • 除数不动，被除数左移，进行计算，小于零则回退，左移remainder置0；大于零左移remainder置1

  • shift right 针对的是最后一步，把余数部分的结果右移1bit

example

  • 注意最后一步

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有符号除法

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  • remainder 高位，符号由被除数决定
  • 低位 商
  • Overflow and division-by-zero don’t produce errors
  • Just return defined results
  • Faster for the common case of no error

Floating point Numbers

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  • 单精度 float 1 + 8 + 23
  • 双精度 double 1 + 11 + 52

为了节省符号位的空间，exponent我们都加上了一个biased

$$ 于是可以表示： (-1){sign}(1+significand)*2 $$

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Range

Exponents

  • 00000000 and 11111111 reserved

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精度

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计算精度与小数位数相关

加法

  • Alignment 对齐 一般由较小的数向大的变
  • The proper digits have to be added
  • Addition of significands
  • Normalization of the result 归一化处理
  • Rounding 进位

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Algorithm

example

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乘法

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  • 记得exponent部分相加之后减去一个 bias
  • $y={exponent - bias},y_1+y_2=ex_1+ex_2-2bias,ex_1+ex_2=y+2bias$

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IEEE 拓展 精确算术运算

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注意！

这个Blog定义的概念跟课本上的不一致

  • Blog

  • 这些bits的作用是在运算过程中保留精度便于之后进位损失的精度不超过0.5ulp

  • sticky bit 在Round bit之后的所有位中只要有1就存为1，这个bit不一定要用到，是为了检测类似2.500000000与2.500000001的区别
  • Guard bit 要保留的最低位之后的第一位
  • Round bit
  • 舍入规则:
  • 如果guard bit是0，那么直接截断。
  • 如果guard bit是1且round bit或sticky bit至少一个是1，那么向上舍入（加1至尾数的最后一位）。
  • 如果仅仅guard bit是1，那么执行向偶数舍入（如果尾数的最后一位是0则不变，如果最后一位是1则加1）。

题目

浮点数计算

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Answer

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image-20240510210659311

image-20240510210338244

Answer

image-20240510213038403 如果先计算后两个数，结果会发生变化，因为中间过程的GRTbit发生了变化，导致保持的精度变化